Question

Докажите, что

(а) ln2/2*1 + ln3/3*2 + ... + lnn/n(n-1) + ... - сходится

(b) ln2/2 + ln3/3 + ... + lnn/n - сходится или расходится

Answer 1

$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{lnn}{n(n-1)}<[lnn<\sqrt{n}\;\forall n\in N]<\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{\sqrt{n}}{n(n-1)}=\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{\sqrt{n}(n-1)}\leq \sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{\sqrt{n-1}(n-1)}=\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{(n-1)^\frac{3}{2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^\frac{3}{2}}$

Т.к. $\dfrac{3}{2}>1$ , то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^\frac{3}{2}}$ сходится как обобщенный гармонический.

Тогда, т.к. $\dfrac{lnn}{n(n-1)}>0\;\forall\;n\in N\backslash\{1\}$ , исходный ряд сходится по признаку сравнения

______________________________

$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{lnn}{n}$

$\left(\dfrac{lnn}{n} \right)'=\dfrac{\frac{1}{n}*n-lnn*1}{n^2}=\dfrac{1-lnn}{n^2}<0 \;\forall\;n\in N\backslash\{1\}$

Значит функция монотонно убывает. При этом $\dfrac{lnn}{n}>0 \;\forall\;n\in N\backslash\{1\}$

$\int\limits_{2}^\infty \dfrac{lnn}{n}dn=\int\limits_{2}^\infty lnnd(lnn)=(\dfrac{ln^2n}{2})|\limits_{2}^\infty=(*)\\ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{ln^2n}{2}=\infty,\: \lim\limits_{n\to 2} \dfrac{ln^2n}{2}=\dfrac{ln^22}{2}$ - интеграл расходится. Тогда и исходный ряд расходится по интегральному признаку Коши