Вершина A основания ABCD правильной пирамиды SABCD совпадает с вершиной конуса, вершины B и D лежат на его боковой поверхности, вершина S – на окружности основания этого конуса, а вершина C – в плоскости его основания. Найдите объем конуса, если объем пирамиды равен 5корень из2/pi.Решите ПОЖАЛУЙСТА, очень сложно
Ответы
Это не такая сложная задачка.
Ясно сразу, что AS - образующая.
Так как точки B и D лежат на образующих, можно продлить их, отложив от A за точку B отрезок такой же длины AS. И также - с D. Пусть соответствующие точки будут B1 на AB и D1 на AD. Так как точка C лежит в плоскости основания конуса, то прямая B1D1 пройдет через неё.
Треугольник B1AD1 - прямоугольный равнобедренный (по построению AB1 = AD1 = AS). => C - середина B1D1.
Кажется, что пока еще ничего не сделано, но на самом деле уже все известно и про пирамиду, и про конус.
Пусть сторона основания AB = BC = CD = AD = a;
Легко видеть, что AB1 = 2a; это длина боковой стороны пирамиды и одновременно длина образующей конуса.
В самом деле, BC и CD это стороны квадрата, вписанного в равнобедренный прямоугольный треугольник (как именно - понятно, две стороны на катетах, а одна из вершин - на гипотенузе). => BC и CD - средние линии в треугольнике AB1D1.
Теперь уже не составляет труда выразить a через объем пирамиды V = 5√2/π по условию - для этого надо выразить через a высоту пирамиды с ребром основания a и боковым ребром 2a;
Я пока что отложу вычисления, и продолжу рассуждать, как дальше решать задачу.
Кроме образующей нужно знать высоту конуса и (а точнее - или) радиус основания. Высота конуса - это расстояние от точки A до плоскости SB1D1 (или, то же самое, SB1C). Точка A проектируется на эту плоскость в центр окружности, описанной вокруг треугольника SB1D1. Треугольник SB1D1 очевидно равнобедренный в силу очевидной симметрии относительно плоскости SAC. Поэтому центр этой окружности (основания конуса) будет лежать на SC.
То же самое можно было бы объяснить, используя то, что B1D1 перпендикулярно плоскости ASC (в ней есть две прямые, перпендикулярные В1D1 - это AC и высота пирамиды SQ, где Q - центр квадрата ABCD). Поэтому высота конуса обязана лежать в плоскости SAC, так как она перпендикулярна B1D1 и содержит точку A, принадлежащую плоскости SAC.
В результате задача свелась к нахождению высот треугольника SAC. Высота к AC (это SQ) - это высота пирамиды, а высота к SC (пусть это AK, К - основние этой высоты) - высота конуса. При этом найдется и радиус основания конуса, равный расстоянию от S до K.
Стороны этого треугольника уже известны - SA = SC = 2a; AC = a√2;
Вот теперь можно повычислять.
Я обозначу SQ = h - высота пирамиды, AK = H - высота конуса. R = SK - радиус основания конуса.
h^2 + a^2/2 = 4a^2; h = a√(7/2);
H*(2a) = h*(a√2); (это просто удвоенные площади ABC);
=> H = h/√2 = (a√7)/2;
R^2 = 4a^2 - H^2 = 4a^2 - a^2(7/4) = a^2(9/4);
Объем конуса Vc = (π/3)*R^2*H = (π/3)*a^2*(9/4)*h/√2 = (π/√2)*(9/4)*a^2*h/3 = (π/√2)*(9/4)*V = (π/√2)*(9/4)*5√2/π = 45/4;
Ну, я не знаю, может быть я где-то напутал в арифметике, но это вряд-ли, не похоже. Могли бы подобрать условие так, чтобы в ответе было целое число.