Question

ДАЮ 40 БАЛОВ

Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000
, которые не делятся ни на 2

, ни на 3

, ни на 5

?

Answer 1

Ответ:

266

Объяснение:

Сначала посчитаем, сколько чисел делится только на 2, 3, 5:

2: 1000 / 2 = 500 (множество A);

3: [1000 / 3] = 333 (B);

5: 1000 / 5 = 200 (C);

Теперь найдем пересечения этих множеств:

A ∩ B (те числа, которые делятся и на 2 и на 3, то есть на 6) = 1000 / 6 = 166;

A ∩ C (на 2 и на 5, то есть на 10) = [1000 / 10] = 100;

B ∩ C (на 3 и на 5, то есть на 15) = [1000 / 15] = 66;

A ∩ B ∩ C = (и на 2, и на 3, и на 5, то есть на 30) = [1000 / 30] = 33;

Теперь, по формуле включений-исключений найдем:

A ∪ B ∪ C = | A | + | B | + | C | - | A ∩ B | - | B ∩ C | - | A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | = 500 + 333 + 200 - 166 - 100 - 66 + 33 = 734 (те числа, которые делятся либо на 2, либо на 3, либо на 5)

Теперь найдем те, которые ни на одного не делятся:

1000 - 734 = 266