Question

Доказать, что при любом простом p > 3 значение многочлена p^5-10p^3+105p делится на 96.

Answer 1

$p^5-10p^3+105p=p(p^4-10p^2+9)+96p=p(p^2-9)(p^2-1)+96p=p(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)+96p=(*)$

Любое простое число, большее 3, нечетно. Тогда

$p=2q+1\\ (*) =(2q+1)(2q-2)2q(2q+2)(2q+4)+96(2q+1)=16(2q+1)(q-1)q(q+1)(q+2)+96(2q+1)$

Среди двух последовательных натуральных чисел ровно одно кратно 2.

Среди трех последовательных натуральных чисел ровно одно кратно 3.

Тогда $q(q+1)(q+2)$ делится на 2 и на 3. Значит $q(q+1)(q+2)$ кратно 6.

Значит $16(2q+1)(q-1)q(q+1)(q+2)$ кратно 16*6=96

$96(2q+1)$ кратно 96.

Тогда и их сумма кратна 96. А значит значение многочлена делится на 96 для любого простого значения переменной, большего 3.