Question

Докажите
$tg(arcsinx) = frac{x}{ sqrt{1 - x {}^{2} } }$
​

Answer 1

$mathrm{tg}(arcsin x)=dfrac{sin(arcsin x)}{cos(arcsin x)}$

ОДЗ: $xin[-1; 1]$

Рассмотрим числитель:

$sin(arcsin x)=x$

Рассмотрим знаменатель $cos(arcsin x)$. Пусть $arcsin x=alpha$, то есть синус $sinalpha$ некоторого угла $alpha inleft[-dfrac{pi }{2} ; dfrac{pi }{2} right]$ равен $x$, а нужно определить его косинус $cosalpha$. По основному тригонометрическому тождеству:

$sin^2alpha +cos^2alpha =1\cos^2alpha=1-sin^2alpha\cosalpha =sqrt{1-sin^2alpha} \cosalpha =sqrt{1-x^2}$

Значит:

$cos(arcsin x)=sqrt{1-x^2}$

Подставляем в исходную формулу:

$mathrm{tg}(arcsin x)=dfrac{sin(arcsin x)}{cos(arcsin x)}=dfrac{x}{sqrt{1-x^2}}$