Question

Найдите реальную часть комплексного числа (1+i)^30

Answer 1

Рассмотрим число $z=1+i$. Запишем это число в тригонометрической форме.

Найдем модуль:

$|z|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt{2}$

Тогда:

$z=1+i=sqrt{2} left(dfrac{1}{sqrt{2}}+dfrac{1}{sqrt{2}}i right)$

Значит, $cosalpha =dfrac{1}{sqrt{2}}$, $sinalpha =dfrac{1}{sqrt{2}}$. Соответственно аргумент числа $alpha =dfrac{pi }{4}$.

Тогда:

$z=1+i=sqrt{2} left(cosdfrac{pi }{4} +isindfrac{pi }{4} right)$

Возведем число в степень по формуле Муавра:

$z^{30}=(sqrt{2})^{30} left(cosleft(30cdotdfrac{pi }{4}right) +isinleft(30cdotdfrac{pi }{4}right)right)=2^{15} left(cosdfrac{15pi }{2} +isindfrac{15pi }{2}right)=\=2^{15} left(cosleft(-dfrac{pi }{2}right) +isinleft(-dfrac{pi }{2}right) right)=2^{15} left(0 +icdot(-1)right)=0-2^{15} i$

Реальная (действительная) часть числа:

$mathrm{Re}(z^{30})=0$

Ответ: 0