Question

n^n/(n+1)!
исследовать на сходимость ряда​

Answer 1

По формуле Стирлинга $(n+1)! sim sqrt{2pi (n+1)}left(dfrac{n+1}{e}right)^{n+1}$

$limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}=limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{dfrac{n^n}{(n+1)!}} =limlimits_{ntoinfty}dfrac{n}{sqrt[n]{sqrt{2pi (n+1)}left(dfrac{n+1}{e}right)^{n+1}}}=\ limlimits_{ntoinfty}dfrac{n}{dfrac{n+1}{e}sqrt[n]{sqrt{2pi (n+1)}left(dfrac{n+1}{e}right)}}=limlimits_{ntoinfty}dfrac{ncdot e}{(n+1)cdot1}}=ecdotlimlimits_{ntoinfty}dfrac{n}{n+1}=e>1$

Тогда ряд расходится по признаку Коши

Вариант 2

$limlimits_{ntoinfty}dfrac{a_{n+1}}{a_n}=limlimits_{ntoinfty}dfrac{(n+1)^{n+1}(n+1)!}{(n+2)!n^n}=limlimits_{ntoinfty}dfrac{(n+1)(n+1)^{n}}{(n+2)n^n}=\ limlimits_{ntoinfty}dfrac{n+1}{n+2}cdotleft(dfrac{n+1}{n}right)^n=limlimits_{ntoinfty}left(1+dfrac{1}{n}right)^n=e>1$

Тогда ряд расходится по признаку Даламбера