Question

решить уравнение, 33 балла!
$sqrt{ sin(x) - 2 sin ^{2} (x) } = sqrt{1 - 2 sin(x) }$
с решением,пожалуйста.​

Answer 1

$sqrt{sin x - 2sin^{2}x} = sqrt{1 - 2sin x}$

$sqrt{sin x (1 - 2sin x)} = sqrt{1 - 2sin x}$

Сделаем замену: $1 - 2sin x = t$, откуда $sin x = dfrac{1-t}{2}$

Имеем:

$sqrt{dfrac{(1 - t)t}{2} } = sqrt{t}$

Запишем ОДЗ:

$left{begin{array}{ccc}t geq 0, \ \dfrac{(1 - t)t}{2} geq 0 \end{array}right$

Найдем решение каждого неравенства:

$1) t in [0; +infty)$

$2) t in [0; 1]$ (для решения данного неравенства используйте метод интервалов).

Следовательно, итоговое ОДЗ: $t in [0; 1]$

Вернемся к уравнению. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$left(sqrt{dfrac{(1 - t)t}{2} }right)^{2} = left(sqrt{t}right)^{2}$

$dfrac{t - t^{2}}{2} = t\t - t^{2} = 2t\t^{2} + t = 0\t(t + 1) = 0\left[begin{array}{ccc}t = 0, \t = -1\end{array}right$

Корень $t =-1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому имеем только $t = 0$

Сделаем обратную замену:

$1 - 2sin x = 0\\sin x = dfrac{1}{2} \\x = (-1)^{n} dfrac{pi}{6} + pi n, n in Z$

Ответ: $x = (-1)^{n} dfrac{pi}{6} + pi n, n in Z$

Примечание. Ответ можно записать в другой форме.

Поскольку $sin x = sin (pi - x)$, то уравнение $sin x = dfrac{1}{2}$ имеет два решения, а именно:

$left[begin{array}{ccc}sin x = dfrac{1}{2}, \sin (pi - x) = dfrac{1}{2} \end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}x = arcsin dfrac{1}{2} + 2pi n, n in Z \pi - x = arcsin dfrac{1}{2} + 2pi n, n in Z\end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}x = dfrac{pi}{6} + 2pi n, n in Z \pi - x = dfrac{pi}{6} + 2pi n, n in Z \end{array}right$

$x = left{begin{array}{ccc}dfrac{pi}{6} + 2pi n \ \dfrac{5pi}{6} + 2pi n \end{array}right, n in Z$