Question

задание
1. Дан правильный тетраэдр SABC . Выполните рисунок.
Найдите:
а) косинус угла между прямой SA и плоскостью ABC .
b) косинус угла между плоскостями SAC и ABC . Известно, что длина ребра 6 см.

Answer 1

Ответ:

a) $frac{sqrt{3} }{3}$;   b) $frac{1}{3}$

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Пусть а = 6 - ребро тетраэдра

a) В основании АВС проведём высоту АЕ ⊥ ВС.    АЕ = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

$AO=frac{2}{3} AE = frac{2}{3}cdot afrac{sqrt{3} }{2} = frac{asqrt{3} }{3}$.

Угол между прямой SA и плоскостью АВС есть угол SAO

$cos angle SAO = frac{AO}{AS} = frac{asqrt{3} }{3} : a = frac{sqrt{3} }{3}$.

b) В основании АВС проведём высоту BK ⊥ AС.    BK = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

$KO= frac{1}{2} BK = frac{1}{3}cdot frac{asqrt{3} }{2} =frac{asqrt{3} }{6}$

Проведём в грани SAC апофему SK = 0,5а√3

Угол между плоскостями SAC и АВС есть угол SKO между апофемой SK и высотой основания ВК как угол между двумя перпендикулярами, восставленными из точки К к линии пересечения АС плоскостей  SAC и АВС

$cosangle SKO = frac{KO}{SK}= frac{asqrt{3} }{6}: frac{asqrt{3} }{2} =frac{1}{3}$