Question

Найдите все пары целых x и y такие, что x^3 + y^3 + 3x^2 − 3y^2 + 3x + 3y = 9.

Answer 1

Разложим левую часть уравнения на множители

$x^3+y^3+3x^2-3y^2+3x+3y=(x+y)(x^2-xy+y^2)+\ \ +3(x-y)(x+y)+3(x+y)=(x+y)(x^2-xy+y^2+3x-3y+3)=9$

Решим уравнение в целых числах

$displaystyle left { {{x+y=3} atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=3}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{x_1=1;~~ y_1=2} atop {x_2=0;~~ y_2=3}} right.$

$displaystyle left { {{x+y=-3} atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=-3}} right.~~~Rightarrow~~~ varnothing$

$displaystyle left { {{x+y=9} atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=1}} right.~~~Rightarrow~~~varnothing$

$displaystyle left { {{x+y=1} atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=9}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{x=dfrac{-3pmsqrt{105}}{6}} atop {y=dfrac{9pmsqrt{105}}{6}}} right.$

Но это не целые х и у

$displaystyle left { {{x+y=-9} atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=-1}} right.~~~Rightarrow~~~varnothing$

$displaystyle left { {{x+y=9} atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=1}} right.~~~Rightarrow~~~varnothing$

Ответ: (1;2), (0;3).