Question

Комбинаторика
[Сразу оговорюсь, что правильный ответ мне известен. Меня интересует стиль решения.]

Помогите, пожалуйста, со следующими задачами:
1) сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 (цифры могут повторяться)?
Меня интересует, как можно решить эту задачу именно с помощью формул для размещений/перестановок (с повтором, надо полагать).

2) аналогичная задача: сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если на первом месте стоит 1? Цифры могут повторяться.
Требование аналогичное: с помощью формул размещений (и прочих, если тут они требуются).

Спасибо.

Answer 1

Задача 1. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 (цифры могут повторяться)?

Решение 1. Всего есть $widetilde{A} ^{4}_{4} = 4^{4} = 256$ четырехзначных чисел, состоящих из 4 цифр, которые могут повторяться. Всего есть $widetilde{A}^{3}_{4} = 4^{3} = 64$ четырехзначных чисел с нулем на первом месте. Вычтем из количества четырехзначных чисел те четырехзначные числа, которые содержат нуль на первом месте. Всего $256 - 64 = 192$ таких четырехзначных чисел.

Решение 2. На первом месте четырехзначного числа могут стоять только три цифры (1, 2, 3), а на последующих трех местах — любые четыре цифры (0, 1, 2, 3). По правилу произведения имеем: $3 cdot 4 cdot 4 cdot 4 = 192$ числа

Ответ: 192 числа.

Задача 2. Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если на первом месте стоит 1 (цифры могут повторяться)?

Решение 1. Пусть $n$ — количество цифр в заданном числе. Так как на первом месте обязательно должна стоять цифра 1, имеем дело с повторяющимися цифрами на $(n-1)$ местах. Имеем размещения с повторениями $widetilde{A}^{n-1}_{4}= 4^{n-1}$ чисел.

Решение 2. На первом месте стоит цифра 1, на втором месте может стоять любая из четырех цифр (1, 2, 3, 4), на третьем тоже — любая из четырех цифр и т. д.

Обозначим количество цифр в числе $n$. Тогда на втором, третьем, четвертом, ..., $(n - 1)$ местах может стоять любая из четырех цифр. Тогда, согласно правилу произведения, имеем: $underset{n-1}{underbrace{4 cdot 4 cdot 4 cdot ... cdot 4}}$ таких чисел.

Таким образом, имеем $4^{n-1}$ чисел.

Ответ: $4^{n-1}$ чисел.