Question

Помогите, пожалуйста решить задание
по математической статистики

Answer 1

а) Поиск константы b

$intlimits^{+infty}_{-infty} {f(x)} , dx=1 \ \\ intlimits^{0}_{-infty} {0} , dx+intlimits^{1}_{0} {(bx^2+0,5)} , dx+intlimits^{+infty}_{1} {0} , dx=1 \ \\ 0+(frac{bx^3}{3}+frac{x}{2})bigg|^1_0 +0=1 \ \\ frac{b}{3}+frac{1}{2} =1 \\ b=frac{3}{2}$

б) Поиск функции распределения F(x) и F(1/3), F(1/2)

$x<0:F(x)=intlimits^{x}_{-infty} {f(t)} , dt=intlimits^{x}_{-infty} {0} , dt=0 \ \\ 0leq xleq1: F(x)=intlimits^{x}_{-infty} {f(t)} , dt=intlimits^{0}_{-infty} {0} , dt + intlimits^{x}_{0} {(1,5t^2+0,5)} , dt=\\\=(0,5t^3+0,5t)bigg|_0^x=0,5(x^3+x)\\x>1:F(x)=intlimits^{x}_{-infty} {f(t)} , dt=intlimits^{0}_{-infty} {0} , dt+intlimits^{1}_{0} {(1,5t^2+0,5)} , dt+intlimits^{x}_{1} {0} , dt=\\\=(0,5t^3+0,5t)bigg|_0^1=0,5+0,5=1$

Итого:

$F(x)=left{begin{matrix}0, & &x<0 \0,5(x^3+x), & & 0leq xleq1\1,& & x>1end{matrix}right.$

Найдём F(1/3) и F(1/2):

$F(frac{1}{3})=0,5((frac{1}{3})^3+frac{1}{3})=frac{1}{2}(frac{1}{27}+frac{9}{27})=frac{5}{27} \ \ F(frac{1}{2})=0,5((frac{1}{2})^3+frac{1}{2})=frac{1}{2}(frac{1}{8}+frac{4}{8})=frac{5}{16}=0,3125$

в) Поиск математического ожидания

$M(X)=intlimits^{+infty}_{-infty} {xf(x)} , dx=intlimits^{0}_{-infty} {xcdot0} , dx+intlimits^{1}_{0} {x(1,5x^2+0,5)} , dx+intlimits^{+infty}_{1} {xcdot0} , dx=\ \ =0+intlimits^{1}_{0} {(1,5x^3+0,5x)} , dx+0=(0,5x^3+0,25x^2)bigg|^1_0=0,75$

г) Поиск дисперсии

$D(X)=intlimits^{+infty}_{-infty} {x^2f(x)} , dx=intlimits^{0}_{-infty} {x^2cdot0} , dx+intlimits^{1}_{0} {x^2(1,5x^2+0,5)} , dx+intlimits^{+infty}_{1} {x^2cdot0} , dx=\ \ =0+intlimits^{1}_{0} {(1,5x^4+0,5x^2)} , dx+0=(frac{3x^5}{10}+frac{x^3}{6} )bigg|^1_0=frac{9}{30}+frac{5}{30}=frac{14}{30}=frac{7}{15}$

д) Поиск P(1/3 < X < 1/2)

$P(frac{1}{3}<X<frac{1}{2})=F(frac{1}{2}-0)-F(frac{1}{3}+0)=frac{5}{16}-frac{5}{27}=5cdotfrac{27-16}{16cdot27}=5cdotfrac{11}{432}=frac{55}{432}$