Question

Даны координаты вершины пирамиды ABCD. Найдите: объем пирамиды; площадь грани ABD; угол между рёбрами AB и AC; уравнение плоскости BCA.
A(7;2;4) B(7;-1;-2) C(3;3;1) D(-4;2;1)

Answer 1

$A(7,2,4); ,; B(7,-1,-2); ,; C(3,3,1); ,; D(-4,2,1)\\1); ; overline {AB}=(0,-3,-6); ,; ; overline {AC}=(-4,1,-3); ,; ; overline {AD}=(-11,0,-3)\\(overline {AB},overline {AC},overline {AD})=left|begin{array}{ccc}0&-3&-6\-4&1&-3\-11&0&-3end{array}right|=3(12-33)-6(0+11)=-129\\V=frac{1}{6}cdot |-129|=frac{129}{6}=21,5\\2); ; [overline {AB}times overline {AD}]=left|begin{array}{ccc}i&j&k\0&-3&-6\-11&0&-3end{array}right|=9vec{i}+66vec{j}-33vec{k}$

$|, [overline {AB}times overline {AD}], |=sqrt{9^2+66^2+33^2}=sqrt{5526}=3sqrt{614}\\S=frac{3}{2}sqrt{614}$

$3); ; cosalpha =frac{(ovecrline {AB},overline {AC})}{|overline {AB}|cdot |overline {AC}|}=frac{0-3+18}{sqrt{3^2+6^2}cdot sqrt{4^2+1^2+3^2}}=frac{15}{sqrt{45}cdot sqrt{26}}=frac{sqrt5}{sqrt{26}}=sqrt{frac{5}{26}}approx 0,44\\alpha =arccossqrt{frac{5}{26}$

$4); ; left|begin{array}{ccc}x-3&y-3&z-1\7-3&2-3&4-1\7-3&-1-3&-2-1end{array}right|=left|begin{array}{ccc}x-3&y-3&z-1\4&-1&3\4&-4&-3end{array}right|=\\\=(x-3)(3+12)-(y-3)(-12-12)+(z-1)(-16+4)=\\=15(x-3)+24(y-3)-12(z-1)=0\\5(x-3)+8(y-3)-4(z-1)=0\\BCA:; 5x+8y-4z-35=0$