Question

Решите уравнение
sqrt(x-2sqrt(x-1)) + srqt(x+3-4sqrt(x-1))=1

Answer 1

$sqrt{x-2sqrt{x-1} } +sqrt{x+3-4sqrt{x-1} }=1;\\sqrt{(sqrt{x-1})^2-2cdot1cdotsqrt{x-1}+1^2} +sqrt{(sqrt{x-1})^2-2cdot2cdotsqrt{x-1} +2^2}=1;\\ sqrt{(sqrt{x-1}-1)^2}+sqrt{(sqrt{x-1}-2)^2}=1.\\ |sqrt{x-1}-1|+|sqrt{x-1}-2|=1.$

Заметим, что если x ≥ 1 - ОДЗ для корня - и если первый модуль раскрыть со знаком +, а второй - со знаком -, то получим следующее:

$(sqrt{x-1}-1)+(-sqrt{x-1}+2)=1, \\sqrt{x-1}-1-sqrt{x-1}+2=1;\1=1$

Т.е. для равенства левой и правой частей достаточно того, чтобы первый модуль раскрывался с плюсом (подмодульное выражение ≥ 0), а второй - со знаком минус (подмодульное выражение ≤ 0). Оба условия объединяем в систему:

$left { {{sqrt{x-1}-1geq 0} atop {sqrt{x-1}-2leq 0;}} right. left { {{sqrt{x-1}geq 1} atop {sqrt{x-1}leq2}} right. left { {{x-1geq 1} atop {x-1leq4}} right. left { {{xgeq 2} atop {xleq5}} right.$

Решение системы - $xin[2;5]$. Соответсвенно весь этот отрезок - с учетом того, что он удовлетворяет ОДЗ - является решением уравнения.

ОТВЕТ: [2; 5]