объясните, пожалуйста, как решать

Приложения:

Ответы

Ответ дал: nikebod313

$dfrac{log_{9}(2 - x) - log_{15}(2 - x)}{log_{15}x - log_{25}x} leqslant log_{25}3$

Прежде всего, найдем ОДЗ:

$left{begin{array}{ccc}2 - x > 0, \x > 0, \log_{15}x - log_{25}x neq 0 end{array}right$

$left{begin{array}{ccc}x < 2\x > 0\x neq 1end{array}right$

Следовательно, $x in (0; 1) cup (1; 2).$

Преобразуем левую часть неравенства:

$dfrac{dfrac{1}{log_{2 - x}9} - dfrac{1}{log_{2 - x}15} }{dfrac{1}{log_{x}15} - dfrac{1}{log_{x}25} }leqslant log_{25}3$

$dfrac{dfrac{log_{2 - x}15 - log_{2 - x}9}{log_{2-x}9log_{2-x}15} }{dfrac{log_{x}25 - log_{x}15}{log_{x}15log_{x}25} } leqslant log_{25}3$

$dfrac{log_{2-x}dfrac{15}{9} log_{x}15log_{x}5^{2}}{log_{x}dfrac{25}{15}log_{2-x}3^{2}log_{2-x}15 } leqslant log_{25}}3$

$dfrac{log_{2-x}dfrac{5}{3} log_{x}15log_{x}5}{log_{x}dfrac{5}{3}log_{2-x}3 log_{2-x}15} leqslant log_{25}3$

$dfrac{log_{{frac{5}{3}}}x log_{3}(2-x)log_{15}(2-x)}{log_{{frac{5}{3}}}(2-x)log_{15}xlog_{5}x} leqslant log_{25}3$

$dfrac{log_{frac{5}{3} }x}{log_{frac{5}{3}} (2-x)} cdot dfrac{log_{15}(2-x)}{log_{15}x} cdot dfrac{log_{3}(2-x)}{log_{5}x} leqslant log_{25}3$

$underset{1}{underbrace{log_{2-x}x cdot log_{x}(2-x)}} cdot dfrac{log_{3}(2 - x)}{log_{5}x} leqslant log_{5^{2}}3$

$dfrac{log_{3}(2 - x)}{log_{5}x} leqslant log_{5}sqrt{3}$

$dfrac{log_{3}(2-x) - log_{5}sqrt{3}log_{5}x}{log_{5}x} leqslant 0$

Решим неравенство методом интервалов.

$log_{3}(2-x) - log_{5}sqrt{3}log_{5}x = 0$

Данное равенство будет выполняться, если

$left{begin{array}{ccc}log_{3}(2 - x) = 0, \log_{5}sqrt{3}log_{5}x = 0\end{array}right$

Следовательно, $x = 1$ . Однако, этот корень не входит в ОДЗ. Значит, уравнение не имеет решений.

Итог: данное неравенство будет выполнятся всегда или не выполнится никогда. Проверим это, подставив любую точку из ОДЗ, например, $x_{0} = dfrac{1}{25} = 0,04$