Question

Типовой расчёт,помогите!

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) $lim_{x to infty} frac{5x^2+6x-1}{10x^2+7x-5}= lim_{x to infty} frac{5+frac{6}{x}-frac{1}{x^2} }{10+frac{7}{x}-frac{5}{x^2} }=frac{5+0+0}{10+0+0 }=frac{5}{10}=0.5$

2)$lim_{x to -0.5} frac{6x^2+5x+1}{2x^2-x-1}= lim_{x to -0.5} frac{(x+0.5)(6x+2)}{(x+0.5)(2x-2)}=lim_{x to -0.5} frac{(6x+2)}{(2x-2)} = frac{-6*0.5+2}{-0.5*2-2}=frac{-1}{-3}=frac{1}{3}$

3) $lim_{x to 0} frac{sqrt{3x+4}-2}{2x} = lim_{x to 0} frac{(sqrt{3x+4}-2)(sqrt{3x+4}+2)}{2x(sqrt{3x+4}+2)}=lim_{x to 0} frac{3x+4-4}{2x(sqrt{3x+4}+2)}=lim_{x to 0} frac{3x}{2x(sqrt{3x+4}+2)}=lim_{x to 0} frac{3}{2(sqrt{3x+4}+2)}=frac{3}{2(sqrt{3*0+4}+2)}=frac{3}{2(sqrt{4}+2)}=frac{3}{8}$4)

$lim_{x to 0} (1+sin3x)^{frac{1}{x} }= lim_{x to 0} (1+sin3x)^{frac{sin3x}{sin3x*x} }$

По второму замечательному пределу:

$lim_{x to 0} (1+sin3x)^{frac{sin3x}{sin3x*x} } = lim_{x to 0} e^{frac{sin3x}{x} }=e^{ lim_{x to 0} frac{sin3x}{x} }=e^{ lim_{x to 0} frac{3sin3x}{3x} }$

По первому замечательному пределу:

$e^{ lim_{x to 0} frac{3sin3x}{3x} }=e^{ lim_{x to 0} 3*1 }=e^{ lim_{x to 0} 3}=e^3$