Question

15 задание, алгебра, логорифмическое неравенство. Нашла, что x=2 и 64, дальше хз

Answer 1

$log_{2}x + 2sqrt{log_{2}x} + 8 geqslant dfrac{18 - 10sqrt{log_{2}x} + 14log_{2}x}{log_{2}x - 2sqrt{log_{2}x} + 3}$

Заметим повторяющееся значения $log_{2}x$. Заменим его на новую переменную так, чтобы не было арифметических квадратных корней: $log_{2}x = t^{2} Rightarrow t = sqrt{log_{2}x}$

Имеем:

$t^{2} + 2t + 8 geqslant dfrac{18 - 10t + 14t^{2}}{t^{2} - 2t + 3}$

$dfrac{14t^{2} - 10t + 18}{t^{2} - 2t + 3} -(t^{2} + 2t + 8) leqslant 0$

$dfrac{14t^{2} - 10t + 18 - (t^{2} + 2t + 8)(t^{2} - 2t + 3)}{t^{2} - 2t + 3} leqslant 0$

$dfrac{14t^{2} - 10t + 18 - (t^{4} - 2t^{3} + 3t^{2} + 2t^{3} - 4t^{2} + 6t + 8t^{2} - 16t + 24)}{t^{2} - 2t + 3} leqslant 0$

$dfrac{14t^{2} - 10t + 18 - t^{4} - 7t^{2} + 10t - 24}{t^{2} - 2t + 3} leqslant 0$

$dfrac{-t^{4} + 7t^{2} - 6}{t^{2} - 2t + 3} leqslant 0$

$dfrac{t^{4} - 7t^{2} + 6}{t^{2} - 2t + 3}geqslant 0$

Решим неравенство методом интервалов:

1) ОДЗ:

$t^{2} - 2t + 3 neq 0$

$D = (-2)^{2} - 4 cdot 1 cdot 3 < 0$

$t in R$

2) Нуль числителя:

$t^{4} - 7t^{2} + 6 = 0$

$t_{1}^{2} = 1; t_{2}^{2} = 6$

$t_{1} = pm 1; t_{2} = pm sqrt{6}$

3) Изобразим координатную прямую и отметим на ней все нули числителя, и определим знак на каждом участке. Те участки, которые будут положительными, и будут решением данного неравенства относительно переменной $t$ (см. вложение).

Итог: $t in (-infty; - sqrt{6}] cup [-1; 1] cup [sqrt{6}; +infty)$

Это можно записать так:

$left[begin{array}{ccc}t leqslant -sqrt{6} \ -1 leqslant t leqslant 1\t geqslant sqrt{6} end{array}right$

Сделаем обратную замену:

$left[begin{array}{ccc}sqrt{log_{2}x} leqslant -sqrt{6} \ -1 leqslant sqrt{log_{2}x} leqslant 1\ sqrt{log_{2}x} geqslant sqrt{6} end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}x in varnothing \x in [1; 2] \ x in [64; +infty)end{array}right$

Ответ: $x in [1; 2] cup [64; +infty)$