Докажите, что площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна квадрату его высоты.
Ответы
Каждая задача на доказательство имеет несколько решений.
Вот пара легчайших способов решения данной задачи.
![](https://st.uroker.com/files/8ab/8ab771279f3a4193a023109fcb49fc2c.jpg)
![](https://st.uroker.com/files/5b7/5b71ca07f39001788e97c3dd59045698.jpg)
Площадь трапеции равна произведению высоты и средней линии. Докажем, что в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота и средняя линия равны.
Соединим середины сторон трапеции. Стороны полученного (синего) четырехугольника параллельны диагоналям трапеции (т.к. являются средними линиями в треугольниках, отсекаемых диагоналями). Отсюда же следует, что угол синего четырехугольника равен углу между диагоналями. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник, его диагонали равны.
В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, является высотой (равнобедренная трапеция - усеченный равнобедренный треугольник, в котором медиана является высотой). Таким образом, высота и средняя линия данной трапеции равны как диагонали прямоугольника.
m=h => S=mh=h^2
![](https://st.uroker.com/files/89d/89d9edc7d723d9f0f69628d21c238d90.png)