Question

2 sin((п/4)-x)=cos(3x-(п/4))

Answer 1

Пусть $u=frac{pi}{4}-x$;

$2sin u=cos(frac{3pi}{4}-3u-frac{pi}{4})=sin 3u$;

Рассмотрим два случая:

1) $sin u neq 0$

$2=frac{sin 3u}{sin u}Leftrightarrow 1= frac{sin 3u-sin u}{sin u}$

Воспользуемся формулой $boxed{sin x-sin y=2sin frac{x-y}{2}cos frac{x+y}{2}}$;

_____________________________________________________

Здесь ее краткий вывод:

Пусть $x=alpha+beta$, а $y=alpha-beta$; Такие числа легко найти: $alpha=frac{x+y}{2},; beta=frac{x-y}{2}$;

Получаем $sin(alpha+beta)-sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha-sinalphacosbeta+sinbetacosalpha$

В итоге $sin(alpha+beta)-sin(alpha-beta)=2sinbetacosalpha=2sinfrac{x-y}{2}cosfrac{x+y}{2}$;

_____________________________________________________

Итак, $1=frac{2sin ucos2u}{sin u}=2cos 2u Leftrightarrow cos 2u=frac{1}{2}Leftrightarrow u=pm frac{pi}{6}+pi k,kinmathbb{Z}$

Откуда $x=frac{pi}{12}+pi k,; x= frac{5pi}{12}+pi k$

2) $sin u =0$

Тогда $u=pi t$  и $sin 3u=sin 3pi t =0$. То есть получили равенство.

Ответ: $x=frac{pi}{12}+pi k,; x= frac{5pi}{12}+pi k, x=frac{pi}{4}-pi k$