Question

Доказать что при всех допустимых значениях α справедливо равенство

Answer 1

В левой части выражения (для простоты cosα = c, sinα = s):

$frac{s+c}{c-s} = frac{s+c}{c-s}*frac{c-s}{c-s} =frac{c^2-s^2}{(c-s)^2} = frac{2c^2-1}{1-2cs} =$

В последнем переходе использовалось основное тригонометрическое тождество: c² + s² = 1.

Переходим к двойному углу:

$=frac{ cos 2alpha}{1-sin 2alpha}$

Далее помножим числитель и знаменатель на cos2α:

$frac{cos^2 2alpha}{(1 - sin 2alpha)cos 2alpha} = frac{1 - sin^2 2alpha}{(1 - sin 2alpha)cos 2alpha} = frac{1 + sin 2alpha}{cos 2alpha} = frac{1}{cos 2alpha} + frac{ sin 2alpha}{cos 2alpha} = frac{1}{cos 2alpha} + tan 2alpha$

Получили искомое выражение.