Question

Найти радиус и область сходимости степенного ряда
455

Answer 1

$sumlimits_{n=1}^inftydfrac{(-x)^{n+1}}{n^3}=sumlimits_{k=2}^inftydfrac{(-x)^k}{(k-1)^3}=sumlimits_{k=2}^inftydfrac{(-1)^k}{(k-1)^3}x^k\ dfrac{1}{R}=limlimits_{ktoinfty}sqrt[k]{left|dfrac{(-1)^k}{(k-1)^3}right|}=1=>R=1=>xin (-1;1)$

$x=-1:sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n^3}$ сходится как обобщенный гармонический c  k=3

$x=1: sumlimits_{n=1}^inftydfrac{(-1)^{n+1}}{n^3}=sumlimits_{n=1}^infty a_n$

$sumlimits_{n=1}^infty |a_n|=sumlimits_{n=1}^infty dfrac{1}{n^3}$ сходится (по доказанному выше). Тогда  $sumlimits_{n=1}^infty a_n$  сходится абсолютно.

Ответ:  $R=1;; xin[-1;1]$