Question

(tga+√3)(tgb+√3)=4
вычислите 9*((a+b)/pi)^2

Answer 1

Дано: $(text{tg} alpha + sqrt{3})(text{tg} beta + sqrt{3}) = 4, alpha neq dfrac{pi}{2} + pi n, n in Z; beta neq dfrac{pi}{2} + pi n, n in Z$

Найти: $9 cdot left(dfrac{alpha + beta }{pi} right)^{2}$

Решение. Наименьшим положительным периодом функций $text{tg} alpha$ и $text{tg} beta$ является $pi$. Решим уравнение $(text{tg} alpha + sqrt{3})(text{tg} beta + sqrt{3}) = 4$ на отрезке длиной $pi$.

$(text{tg} alpha + sqrt{3})(text{tg} beta + sqrt{3}) = 4$

$text{tg} alpha text{tg} beta + sqrt{3}(text{tg} alpha + text{tg} beta ) + 3 = 4$

$dfrac{sin alpha }{cos alpha } cdot dfrac{sin beta }{cos beta } + dfrac{sqrt{3}sin (alpha + beta )}{cos alpha cos beta }= 1$

$dfrac{sin alpha sin beta + sqrt{3}sin (alpha + beta )}{cosalpha cos beta } =1$

$sin alpha sin beta +sqrt{3}sin (alpha + beta ) - cos alpha cos beta = 0$

$cos (alpha + beta ) + sqrt{3}sin (alpha + beta ) = 0 | : 2$

$dfrac{1}{2} cos (alpha + beta ) + dfrac{sqrt{3}}{2} sin (alpha + beta ) = 0$

$sin dfrac{pi}{6} cos (alpha + beta ) + cos dfrac{pi}{6} sin (alpha + beta ) = 0$

$sin left(dfrac{pi}{6} + alpha + beta right) = 0$

$dfrac{pi}{6} + alpha + beta = pi$

$alpha + beta = pi - dfrac{pi}{6} = dfrac{5pi}{6}$

Таким образом, $9 cdot left(dfrac{alpha + beta }{pi} right)^{2} = 9 cdot left(dfrac{dfrac{5pi}{6} }{pi} right)^{2} = 9 cdot left(dfrac{5}{6} right)^{2} = 9 cdot dfrac{25}{36} = dfrac{25}{4} = 6,25$

Ответ: 6,25.