Question

У=1/1-х^2 исследоват функции

Answer 1

$y = dfrac{1}{1 - x^{2}}$

$1) D(y): 1 - x^{2} neq 0; x^{2} neq 1; x neq pm 1 Rightarrow x in (-infty; -1) cup (-1; 1) cup (1; +infty)$

$2) y(-x) = dfrac{1}{1 - (-x)^{2}} = dfrac{1}{1 - x^{2}}$ — функция является четной и непериодической.

$3)$ Если $x = 0$, то $y = 1$, значит $(0; 1)$ — точка пересечения с осью ординат. Если $y = 0$, то есть $dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$, то $x = varnothing$, значит нет точек пересечения с осью абсцисс.

$4)$ Поскольку $x = 1$ и $x = -1$ — точки разрыва функции и $underset{xrightarrow -1}{lim} dfrac{1}{1 - x^{2}} = infty$ и $underset{xrightarrow 1}{lim} dfrac{1}{1 - x^{2}} = infty$, то  

Если $xrightarrow -1, x < -1$, то $y rightarrow +infty$; если $xrightarrow -1, x > -1$, то $yrightarrow -infty$

Если $xrightarrow 1, x < 1$, то $y rightarrow +infty$; если $xrightarrow 1, x > 1$, то $yrightarrow -infty$

Найдем наклонные асимптоты $(y = kx + b)$:

$k = underset{xrightarrow infty}{lim}dfrac{y}{x} = underset{xrightarrow infty}{lim}dfrac{1}{x(1 - x^{2})} = 0$

Если $k = 0$, то имеем горизонтальную асимптоту. Найдем $b:$

$underset{xrightarrow infty}{lim}(y - kx) = underset{xrightarrow infty}{lim}dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$

Следовательно, $y = 0$ — горизонтальная асимптота.

$5) y' = left(dfrac{1}{1 - x^{2}} right)' = dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}}$

Из уравнения $dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} = 0$ имеем критическую точку функции: $x = 0$

Заполним таблицу №1 (см. вложение).

$6) y'' = left(dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} right)' = dfrac{2(1 - x^{2})^{2} + 8x^{2}(1 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} = dfrac{2(1 - x^{2})(1 - x^{2} + 4x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} =\= dfrac{2(1 + 3x^{2})}{(1 - x^{2})^{3}} = dfrac{2 + 6x^{2}}{(1 - x^{2})^{3}}$

Если $y'' = 0$, то $x = varnothing$

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблице №2 (см. вложение).

Для достоверности изобразим полученный график (см. вложение).

$7)$ Из рисунка видим, что $E(y): y in (-infty; 0) cup [1; +infty)$

Answer 2

Если Вы учитесь в 8-9 классах, то будет достаточно первых трех пунктов.