Question

Пожалуйста, решите уравнение
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = -$frac{1}{2}$

Спасибо большое.

Answer 1

Будем пользоваться следующей формулой:

$boxed{cos x+cos y=2cos frac{x+y}{2}cos frac{x-y}{2}}$

___________________________________

Сгруппируем первый с последним и оставшиеся:

$cos x+cos4x+cos2x+cos3x=2cosfrac{5x}{2}cosfrac{3x}{2}+2cosfrac{5x}{2}cos frac{x}{2}$, вынесем общий множитель: $2cosfrac{5x}{2}(cosfrac{3x}{2}+cosfrac{x}{2})=2cosfrac{5x}{2}times2cos xcosfrac{x}{2}$; Умножим и поделим на $sinfrac{x}{2}$: $frac{2cosfrac{5x}{2}cos xsin x}{sinfrac{x}{2} }=frac{cosfrac{5x}{2}sin2x }{sinfrac{x}{2} }$;

Получили уравнение: $frac{cosfrac{5x}{2}sin2x }{sinfrac{x}{2} }=-frac{1}{2}Leftrightarrow frac{2cosfrac{5x}{2}sin2x }{sinfrac{x}{2} }=-1$; Теперь

$2cosfrac{5x}{2}sin2x=sinfrac{9x}{2}-sinfrac{x}{2}$; Итак, $frac{sinfrac{9x}{2}-sinfrac{x}{2} }{sinfrac{x}{2} }=-1Leftrightarrow frac{sinfrac{9x}{2} }{sinfrac{x}{2} }=0Leftrightarrow x=frac{2pi k}{9},; kinmathbb{Z}$

Answer 2

да, с равнозначностью я поторопился