R и r — радиусы описанного и вписанного в правильный треугольник кругов. Какой знак следует поставить вместо *: R * 2r?
Ответы
Ответ:
Окружность, вписанная в правильный треугольник
Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.
1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.
okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnikНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр вписанной окружности.
AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.
[AK cap BF = O,]
[AK cap CD = O.]
2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:
[OF = frac{1}{3}BF,]
[r = frac{1}{3} cdot frac{{asqrt 3 }}{2} = frac{{asqrt 3 }}{6}]
Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности
[r = frac{{asqrt 3 }}{6}]
Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Объяснение: