Question

Решите уравнение пожалуйста)

Answer 1

$sin x + sin(a + x) + sin (a - x) = 2$

$sin x + 2sindfrac{a + x + a - x}{2} cos dfrac{a + x - a + x}{2} = 2$

$sin x + 2sin a cos x = 2$

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой (при этом $2sin a$ — число):

$sin alpha = dfrac{2text{tg}dfrac{alpha }{2} }{1 + text{tg}^{2}dfrac{alpha }{2} }$

$cos alpha = dfrac{1 - text{tg}^{2}dfrac{alpha }{2} }{1 + text{tg}^{2}dfrac{alpha }{2} }$

Имеем:

$dfrac{2text{tg}dfrac{x}{2} }{1 + text{tg}^{2}dfrac{x}{2} } + 2sin a cdot dfrac{1 - text{tg}^{2}dfrac{x}{2} }{1 + text{tg}^{2}dfrac{x}{2} } = 2$

Сделаем соответствующую замену: $text{tg} dfrac{x}{2} = t, x neq pi + 2pi n, n in Z$

Имеем:

$dfrac{2t }{1 + t^{2} } + 2sin a cdot dfrac{1 - t^{2} }{1 + t^{2}} = 2$

Решим полученное уравнение в зависимости от значений параметра $a$

$dfrac{2t}{1 + t^{2}} + dfrac{2sin a (1 - t^{2})}{1 + t^{2}} - 2 = 0$

$dfrac{2t + 2sin a - 2t^{2}sin a - 2 - 2t^{2}}{1 + t^{2}} = 0$

$dfrac{-2t^{2}(1 + sin a) + 2t + 2sin a - 2}{1 + t^{2}} = 0$

$-2t^{2}(1 + sin a) + 2t + 2sin a - 2 = 0$

$2t^{2}(1 + sin a) - 2t - 2sin a + 2 = 0$

Если $1 + sin a = 0$, то есть $a = -dfrac{pi}{2} + 2pi n, n in Z$, то имеем линейное уравнение:

$-2t + 2 + 2 = 0\-2t = -4\t = 2$

Тогда $text{tg}dfrac{x}{2} = 2$

$dfrac{x}{2} = text{arctg}2 + pi k, k in Z$

$x = 2text{arctg}2 + 2pi k, k in Z$

Если $1 + sin a neq 0$, то есть $a neq -dfrac{pi}{2} + 2pi k, k in Z$, то имеем квадратное уравнение, которое решим через дискриминант относительно $t$.

$D = (-2)^{2} - 4 cdot 2(1 + sin a) cdot (-2sin a + 2) = -12 + 16sin^{2}a$

Данное уравнение имеет корни, если $D geq 0$

Определим, когда данное уравнение не будет иметь корней:

$-12 + 16sin^{2}a < 0$

$sin^{2}a < dfrac{3}{4}$

$-dfrac{sqrt{3}}{2} < sin a < dfrac{sqrt{3}}{2}$

$a in left(-dfrac{pi}{3} + pi k; dfrac{pi}{3} + pi k right), k in Z$

Следовательно, данное уравнение будет иметь корни, если

$sin^{2}a geq dfrac{3}{4}$

$left{begin{array}{ccc}sin a geq dfrac{sqrt{3}}{2}, \sin a leq -dfrac{sqrt{3}}{2} \end{array}right$

$a in left[-dfrac{2pi}{3} + pi k; -dfrac{pi}{3} + pi k right]$

Тогда:

$t_{1} = dfrac{2 + sqrt{16sin^{2}a - 12}}{4} = dfrac{1}{2} + sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }$

$t_{2} = dfrac{2 - sqrt{16sin^{2}a - 12}}{4} = dfrac{1}{2} - sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }$

Сделаем обратную замену:

$left[begin{array}{ccc}text{tg} dfrac{x}{2} = dfrac{1}{2} + sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }\text{tg} dfrac{x}{2} = dfrac{1}{2} - sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }\end{array}right$

$left[begin{array}{ccc} dfrac{x}{2} = text{arctg}left(dfrac{1}{2} + sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }right) + pi l, l in Z \dfrac{x}{2} = text{arctg}left(dfrac{1}{2} - sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }right) + pi m, m in Z\end{array}right$

$left[begin{array}{ccc} x = 2text{arctg}left(dfrac{1}{2} + sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }right) + pi l, l in Z \x = 2text{arctg}left(dfrac{1}{2} - sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }right) + pi m, m in Z\end{array}right$

Ответ:

Если $a = -dfrac{pi}{2} + 2pi n, n in Z$, то $x = 2text{arctg}2 + 2pi k, k in Z$

Если $a in left[-dfrac{2pi}{3} + pi k; -dfrac{pi}{3} + pi k right]$, то $left[begin{array}{ccc} x = 2text{arctg}left(dfrac{1}{2} + sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }right) + pi l, l in Z \x = 2text{arctg}left(dfrac{1}{2} - sqrt{sin^{2}a - dfrac{3}{4} }right) + pi m, m in Z\end{array}right$

Если $a in left(-dfrac{pi}{3} + pi k; dfrac{pi}{3} + pi k right), k in Z$, то $x in varnothing$

Answer 2

Ох, Прям огромное спасибо!!! Выручили