Существует ли такое иррациональное число "а", при котором числа "а^2+a" и "a^3-2a" будут рациональными? ЕСЛИ ДА, ТО ПРИМЕР, ЕСЛИ НЕТ, ТО ДОКОЗАТЕЛЬСТВО !!!
Ответы
Ответ: Да . Например :
a= (√5-1)/2
a= (-√5-1)/2
Пошаговое объяснение:
Предположим , что числа
а^2+a и a^3-2a являются рациональными , но тогда отношение этих чисел так же является рациональным числом .
Преобразуем это отношение :
(a^3-2a)/(a^2+a) = ( a*(a^2-2) )/( a*(a+1) ) =
= (a^2-2)/(a+1) = (a^2-1)/(a+1) -1/(a+1)=
=(a-1)*(a+1)/(a+1) -1/(a+1) = a-1 - 1/(a+1) = (a+1) -1/(a+1) -2
(a+1) - 1/(a+1) -2 - рациональное число .
Поскольку 2 - рациональное число , то
(a+1) - 1/(a+1) - рациональное число .
Пусть : (a+1) - 1/(a+1) = R - рациональное число.
Решим уравнение относительно иррационального числа a+1 =t :
t-1/t =R
t^2-R*t-1=0
D = R^2 +4 >0 при любом рациональном числе R
t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2
Поскольку по условию t= a+1 - иррационально , тк a- иррационально.
То R^2+4 - не является квадратом рационального числа.
По условию : число а^2+a - рационально
a^2+a =a*(a+1) = (t-1)*t =t^2-t
t^2 = ( (R +-√(R^2+4) ) /2 )^2 = (R^2 +-2*R*√(R^2+4) +R^2+4)/4 =
= (2*R^2 +4 +-2*R*√(R^2+4) )/4 = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2
t^2-t = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2 - (R +-√(R^2+4) ) /2 =
=(R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4) )/2
Число : R^2-R+2 - рационально в силу рациональности R . Точно так же как и число R-1 .
Но тогда , выходит что (R-1)*√(R^2+4) - рациональное число
Это может быть только в двух случаях.
1) R^2+4 является квадратом рационального числа , но как было написано выше это невозможно.
2) Тогда остается единственный вариант , а именно, занулить это выражение , то есть когда R=1.
В этом случае : (R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4) )/2 = (R^2-R+2)/2 = 1 - рациональное число.
Поскольку отношение чисел :
(a^3-2a)/(a^2+a) = R-2 =-1 - рационально и
a^2+a = 1
То a^3 -2a = -1 - рационально.
Подставим R=1 в значение для
t=a+1
t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2 = (1+-√5)/2
a = (1+-√5)/2 -1 = (-1+-√5)/2 - иррациональное число.
Таким образом , такие a существуют и их ровно два :
a1= (√5-1)/2
a2= (-√5-1)/2