Question

Решите уравнение:
$frac{tg2x}{tgx}$+(tgx)^2=2

Answer 1

${rm tg}, 2x=dfrac{sin 2x}{cos 2x}=dfrac{2sin xcos x}{cos^2x-sin^2x}=dfrac{2{rm tg}, x}{1-{rm tg}^2x}$              (1)

Применим формулу (1) в данное уравнение

                               $dfrac{2{rm tg}, x}{{rm tg}, x(1-{rm tg}^2x)}+{rm tg}^2x=2$

                                    $dfrac{2}{1-{rm tg}^2x}+{rm tg}^2x=2$

Пусть ${rm tg}^2x=t$ получаем

                                     $dfrac{1}{1-t}+t=2~~~~~~~~Bigg|cdot (1-t)ne 0$

                                $1+t-t^2=2-2t$

                                    $t^2-3t+1=0$

Решая как квадратное уравнение (через дискриминант), получим

                                    $t_{1,2}=dfrac{3pm sqrt{5}}{2}$

Выполним обратную замену

                                   ${rm tg}^2x=dfrac{3pmsqrt{5}}{2}$

                                  ${rm tg}, x=pm sqrt{dfrac{3pmsqrt{5}}{2}}$

                     $boxed{x=pm{rm arctg}, left(sqrt{frac{3pmsqrt{5}}{2}right)+pi n,n in mathbb{Z}}}$