Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: y=1/x,x+2y=4

Answer 1

$OTBET:2sqrt{2}+ln(frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}} )$

Пошаговое объяснение:

Изображение фигуры, которую нужно найти, во вложении.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций:

$frac{1}{x}=-frac{x}{2}+2\ \ frac{2}{2x}=-frac{x^2}{2x}+frac{4x}{2x} \ \ frac{2+x^2-4x}{2x}=0 \ \ xneq 0\ \ x^2-4x+2=0\ \ D=(-4)^2-4cdot1cdot2=8\ \ sqrt{D}=sqrt{8}=sqrt{4cdot2}=2sqrt{2}\ \ x_1=frac{4-2sqrt{2} }{2}=2-sqrt{2} \ \ x_2=frac{4+2sqrt{2} }{2}=2+sqrt{2}$

Это будут границы интегрирования.

Так как линейная функция выше, чем ветвь гипербола (в рассматриваемом промежутке), то для нахождения площади будем последнюю вычитать, то есть:

$S_{uck.}=intlimits^{2+sqrt{2} }_{2-sqrt{2}} {(-frac{x}{2} +2-frac{1}{x}) } , dx =(-frac{x^2}{4}+2x-ln|x|) Bigg|^{2+sqrt{2} }_{2-sqrt{2}} =\ \ \ =(-frac{(2+sqrt{2})^2}{4}+2(2+sqrt{2})-ln|2+sqrt{2}|)-(-frac{(2-sqrt{2})^2}{4}+2(2-sqrt{2})-ln|2-sqrt{2}|)=\ \ \ =-frac{(2+sqrt{2})^2}{4}+4+2sqrt{2}-ln(2+sqrt{2})+frac{(2-sqrt{2})^2}{4}-4+2sqrt{2}+ln(2-sqrt{2})=\ \ \ =4sqrt{2}+frac{(2-sqrt{2})^2-(2+sqrt{2})^2}{4}+ln(2-sqrt{2})-ln(2+sqrt{2})=$

$=4sqrt{2}+frac{(2-sqrt{2}-2-sqrt{2} )(2-sqrt{2}+2+sqrt{2} )}{4}+ln(frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}} )=4sqrt{2}+frac{-2sqrt{2}cdot4}{4}+ln(frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}} )=\ \ \ =4sqrt{2}-2sqrt{2}+ln(frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}} )=2sqrt{2}+ln(frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}} )$