Помогите!!! Из точки O , Которая является точкой пересечения медиан правильного треугольника A B C , Проведено перпендикуляр OM к плоскости этого треугольника. Найдите угол наклона прямой M A в плоскости A B C , если O M = √ 3 , A B = 3 √ 3 . (Ответ 30. Как его получили!?)
Ответы
Т. к. треугольник правильный, то все медианы являются биссектрисами и высотами.
Правильный треугольник - треугольник у которого все стороны равны.
Сначала найдем медиану (в правильном треугольнике все медианы равны) по теореме Пифагора. Пусть сторона треугольника а, по условию a = 3*√3.
Пусть длина медианы m. Тогда по т. Пифагора имеем:
m² = a² - (a/2)² = a² - (a²/4) = (3/4)*a²,
m = √(3a²/4) = (a/2)*√3.
m = (3*√3/2)*√3 = 3*3/2 = 9/2.
По известной теореме: медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины, отсюда найдем AO.
AO = (2/3)*m = (2/3)*(9/2) = 3.
Треугольник AMO - прямоугольный, т.к. MO - перпендикуляр к плоскости ABC, поэтому AO⊥MO. По условию MO = √3.
∠MAO - искомый угол. Из прямоугольного треугольника AMO найдем:
tg(∠MAO) = MO/AO = (√3)/3 = 1/(√3),
∠MAO = arctg(1/√3) = 30°.
Пояснение:
тригонометрические функции углов 30°, 45°, 60° - известны их надо просто запомнить.