Question

найдите последнюю цифру значения выражения:а)1*2+2*3+3*4+...+9*10; б) 1*2+2*3+3*4+...+9*10+10*11+...+2019*2020.

Answer 1

$S_k=sumlimits_{n=1}^k n(n+1)=sumlimits_{n=1}^k (n^2+n)=sumlimits_{n=1}^k n^2+sumlimits_{n=1}^kn=dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+dfrac{k(k+1)}{2}=dfrac{k(k+1)(2k+1+3)}{6}=dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}\ 1*2+2*3+3*4+...+9*10=S_9=dfrac{9(9+1)(9+2)}{3}=3*10*11=overline{...0}\ 1*2+2*3+3*4+...+2019*2020=S_{2019}=dfrac{2019(2019+1)(2019+2)}{3}=673*202*10*2021=overline{...0}\ fbox{OTBET:;a) 0; b) 0}$

Answer 2

Если вдруг забыли формулу суммы n квадратов последовательных натуральных чисел, можно бы было заметить, что сумму пункта b можно разбить на 202 группы, из которых 201 включает 10 последовательных слагаемых, а последняя, 202ая, - 9, причем последняя цифра сумм в этих группах совпадает с последней цифрой суммы пункта a)