Question

Помогите пожалуйста .Даю 50(25) баллов
Запишите в виде произведения
cos(π/12)+ cos(π/4)+cos(5π/6)

Answer 1

Основная формула:

$cosalpha+cosbeta =2cosdfrac{alpha+beta }{2} cosdfrac{alpha-beta }{2}$

Первый вариант. Первое и второе слагаемое преобразуем в произведение, а третье преобразуем по формуле приведения. Общий множитель вынесем за скобки.

$cosdfrac{pi}{12} +cosdfrac{pi}{4}+cosdfrac{5pi}{6}=2cosdfrac{frac{pi}{12}+frac{pi}{4}}{2}cos dfrac{frac{pi}{12}-frac{pi}{4}}{2} +cosdfrac{5pi}{6}=$

$=2cosdfrac{frac{pi}{12}+frac{3pi}{12}}{2}cosdfrac{frac{pi}{12}-frac{3pi}{12}}{2} +cosdfrac{5pi}{6}=2cosdfrac{frac{4pi}{12}}{2}cosdfrac{-frac{2pi}{12}}{2} +cosdfrac{5pi}{6}=$

$=2cosdfrac{2pi}{12}cosleft(-dfrac{pi}{12}right) +cosleft(pi-dfrac{pi}{6}right)=2cosdfrac{pi}{6}cosdfrac{pi}{12}-cosdfrac{pi}{6}=$

$=boxed{cosdfrac{pi}{6}left(2cosdfrac{pi}{12}-1right)}$

Второй вариант. Добавим к выражению ноль, записанный в виде $0=cosdfrac{pi}{2}$ . Преобразуем две суммы в произведения. Общий множитель опять же вынесем за скобки, но образовавшуюся в скобках сумму косинусов снова преобразуем в произведение.

В результате получим более красивое представление в виде произведения трех косинусов.

$cosdfrac{pi}{12} +cosdfrac{pi}{4}+cosdfrac{5pi}{6}+cosdfrac{pi}{2}=$

$=2cosdfrac{frac{pi}{12}+frac{pi}{4}}{2}cos dfrac{frac{pi}{12}-frac{pi}{4}}{2} +2cosdfrac{frac{5pi}{6}+frac{pi}{2}}{2}cos dfrac{frac{5pi}{6}-frac{pi}{2}}{2}=$

$=2cosdfrac{frac{pi}{12}+frac{3pi}{12}}{2}cosdfrac{frac{pi}{12}-frac{3pi}{12}}{2} +2cosdfrac{frac{5pi}{6}+frac{3pi}{6}}{2}cosdfrac{frac{5pi}{6}-frac{3pi}{6}}{2}=$

$=2cosdfrac{pi}{6}cosdfrac{pi}{12} +2cosdfrac{2pi}{3}cosdfrac{pi}{6}=2cosdfrac{pi}{6}left(cosdfrac{pi}{12} +cosdfrac{2pi}{3}right)=$

$=2cosdfrac{pi}{6}cdot2cos dfrac{frac{pi}{12}+frac{2pi}{3}}{2} cos dfrac{frac{pi}{12}-frac{2pi}{3}}{2} =4cosdfrac{pi}{6}cos dfrac{frac{pi}{12}+frac{8pi}{12}}{2} cos dfrac{frac{pi}{12}-frac{8pi}{12}}{2} =$

$=boxed{4cosdfrac{pi}{6}cos dfrac{9pi}{24} cos dfrac{7pi}{24}}$