Question

Найдите значение выражения:
$sin( frac{ alpha }{2} )$
если
$sin( frac{ alpha }{4} ) + cos( frac{ alpha }{4} ) = frac{1}{2}$

​

Answer 1

$sin dfrac{alpha }{4} + cos dfrac{alpha }{4} = dfrac{1}{2}$

Здесь $sin dfrac{alpha }{2} = 2sin dfrac{alpha }{4} cos dfrac{alpha} {4}$, поэтому воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^{2} dfrac{alpha }{4} + cos^{2} dfrac{alpha }{4} = 1$

Получили систему из двух уравнений:

$left{begin{array}{ccc}sin dfrac{alpha }{4} + cos dfrac{alpha }{4} = dfrac{1}{2} \ \sin^{2} dfrac{alpha }{4} + cos^{2} dfrac{alpha }{4} = 1\end{array}right$

Сделаем замену: $cos dfrac{alpha }{4} = x, sin dfrac{alpha }{4} = y$

Имеем:

$left{begin{array}{ccc}y + x = dfrac{1}{2} \y^{2} + x^{2} = 1\end{array}right$

$left{begin{array}{ccc}y = dfrac{1}{2} - x \left(dfrac{1}{2} - x right)^{2} + x^{2} = 1\end{array}right$

$dfrac{1}{4} - x+ x^{2}+x^{2} = 1 | cdot 4$

$1 - 4x + 4x^{2} + 4x^{2} = 4$

$8x^{2} - 4x - 3 = 0$

$D = (-4)^{2} - 4 cdot 8 cdot (-3) = 16 + 96 = 112$

$x_{1}= dfrac{-(-4) + sqrt{112}}{2 cdot 8} = dfrac{4 + 4sqrt{7}}{16} = dfrac{1 + sqrt{7}}{4}$

$x_{2}= dfrac{-(-4) - sqrt{112}}{2 cdot 8} = dfrac{4 - 4sqrt{7}}{16} = dfrac{1 - sqrt{7}}{4}$

$y_{1} = dfrac{1}{2} - dfrac{1 + sqrt{7}}{4} = dfrac{2 - 1 - sqrt{7}}{4} = dfrac{1 - sqrt{7}}{4}$

$y_{2} = dfrac{1}{2} - dfrac{1 - sqrt{7}}{4} = dfrac{2 - 1 + sqrt{7}}{4} = dfrac{1 + sqrt{7}}{4}$

Получили два решения системы:

$(x_{1}; y_{1}) = left( dfrac{1 + sqrt{7}}{4}; dfrac{1 - sqrt{7}}{4} right)$

$(x_{2}; y_{2}) = left(dfrac{1 - sqrt{7}}{4}; dfrac{1 + sqrt{7}}{4} right)$

Следовательно, $cos dfrac{alpha }{4} = dfrac{1 + sqrt{7}}{4}$ или $cos dfrac{alpha }{4} = dfrac{1 - sqrt{7}}{4}$ и соответственно $sin dfrac{alpha }{4} = dfrac{1 - sqrt{7}}{4}$ или $sin dfrac{alpha }{4} = dfrac{1 + sqrt{7}}{4}$

Так как $sin dfrac{alpha }{2} = 2sin dfrac{alpha }{4} cos dfrac{alpha} {4}$, то достаточно выбрать только одно решение, системы.

Тогда имеем:

$sin dfrac{alpha }{2} = 2sin dfrac{alpha }{4} cos dfrac{alpha} {4} = 2 cdot dfrac{1 + sqrt{7}}{4} cdot dfrac{1 - sqrt{7}}{4} = dfrac{2(1 + sqrt{7})(1 - sqrt{7})}{4 cdot 4} = \\=dfrac{1 - 7}{8} = -dfrac{6}{8} = -dfrac{3}{4}$

Ответ: $-dfrac{3}{4}$