Question

Найдите $tg(frac{alpha+beta }{2})$ и $cos(alpha -beta)$

Answer 1

Преобразуем известные выражения:

$cosalpha +cosbeta =2cosdfrac{alpha+beta }{2} cosdfrac{alpha-beta }{2} =dfrac{3}{10}$

$sinalpha +sinbeta =2sindfrac{alpha+beta }{2} cosdfrac{alpha-beta }{2} =-dfrac{11}{10}$

Разделим второе на первое:

$dfrac{2sindfrac{alpha+beta }{2} cosdfrac{alpha-beta }{2}}{2cosdfrac{alpha+beta }{2} cosdfrac{alpha-beta }{2}} =dfrac{-dfrac{11}{10} }{dfrac{3}{10}}$

$boxed{mathrm{tg}dfrac{alpha+beta }{2} =-dfrac{11}{3}}$

Возведем известные выражения в квадрат:

$(cosalpha +cosbeta )^2=cos^2alpha +2cosalpha cosbeta +cos^2beta =dfrac{9}{100}$

$(sinalpha +sinbeta )^2=sin^2alpha +2sinalpha sinbeta +sin^2beta =dfrac{121}{100}$

Просуммируем два этих выражения:

$cos^2alpha +sin^2alpha+2cosalpha cosbeta +2sinalpha sinbeta +cos^2beta++sin^2beta =dfrac{9}{100}+dfrac{121}{100}$

Учитывая основное тригонометрическое тождество:

$1+2cosalpha cosbeta +2sinalpha sinbeta +1 =dfrac{130}{100}$

$2+2cosalpha cosbeta +2sinalpha sinbeta =dfrac{13}{10}$

$1+cosalpha cosbeta +sinalpha sinbeta =dfrac{13}{20}$

$cosalpha cosbeta +sinalpha sinbeta =-dfrac{7}{20}$

Заметим, что в левой части записана как раз формула косинуса разности:

$boxed{cos(alpha -beta )=-dfrac{7}{20}}$