Question

Решить уравнение:
2 (2cos4x + 1) · cosx = 1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$2(2cos4x+1) cosx=1 |*sinxneq 0;\2sinxcosx(2cos4x+1) =sinx;\sin2x(2cos4x+1) =sinx| * 2cos2xneq 0;\2sin2xcos2x (2cos4x+1) =2sinxcos2x;\sin4x (2cos4x+1)=2sinxcos2x;\2sin4xcos4x+sin4x =2sinxcos2x;\sin8x +sin4x =2sinxcos2x;\2sin6x cos 2x-2sinxcos2x=0;\2cos2x ( sin6x -sinx)=0;\cos2x *2 sinfrac{5x}{2} * cos frac{7x}{2} =0;\cos2x * sinfrac{5x}{2} * cos frac{7x}{2} =0;$

Так как $cos2x neq 0,$ то

$left [ begin{array}{lcl} {{sinfrac{5x}{2} =0,} \\ {cosfrac{7x}{2} =0};} end{array} right.Leftrightarrowleft [ begin{array}{lcl} {{frac{5x}{2} =pi n,~ninmathbb {Z},} \ \{frac{7x}{2} =frac{pi }{2} +pi k,~kinmathbb {Z}};} end{array} right.Leftrightarrowleft [ begin{array}{lcl} {{5x=2pi n,~ninmathbb {Z},} \ {7x=pi+2pi k,~kinmathbb {Z} ; }} end{array} right.$

$Leftrightarrowleft [ begin{array}{lcl} {{x=frac{2pi n}{5} ,~ninmathbb {Z},} \ \{x=frac{pi }{7} +frac{2pi k}{7} ~kinmathbb {Z},}} end{array} right.$

Так как должны выполняться условия : $sinxneq 0; cos2xneq 0$, то

$x=frac{2pi n}{5} ,~ninmathbb {Z}$ ,n  -не кратно  5;

$x= frac{pi }{7} +frac{2pi k}{7} ,~kinmathbb {Z}, kneq 3;kneq 10;kneq 17$ и т.д.