Question

Решить уравнение:
3tgx + tg3x = 0
(Если можно, ответ через арктангенс)

Answer 1

Решение : //////////////////////////

Answer 2

Сразу рассмотрим случай $tan x =0$;

Тогда видно, что $x=pi k$ является решением.

Теперь $tan xneq0$;

Разделим обе части на $tan x$:

$frac{tan3x}{tan x}=-3Leftrightarrow frac{tan 3x+tan x}{tan x}=-2$; Воспользуемся формулой суммы тангенсов:

$frac{sin4x}{cos3xcos x}times frac{cos x}{sin x}=-2Leftrightarrow frac{sin4x}{cos3xsin x} =-2$;

Но $cos3xsin x=frac{1}{2}(sin(-2x)+sin4x)$; Подставляя это в уравнение, получаем: $frac{sin4x}{-sin2x+sin4x}=-1Rightarrow sin4x=sin2x-sin4xLeftrightarrow 2sin4x=sin2x$;

Ну и заключительный этап:

$4sin2xcos2x=sin2xLeftrightarrow sin2x(4cos2x-1)=0$, откуда получаем:

$x=pi t/2,; pm0.5arccos(1/4)+pi z$; Запишем ответ (переведя арккосинус в арктангенс):

$x=pi k,\ x=frac{pi t}{2},\ x=pm0.5arctansqrt{15}+pi z,; k,t,zinmathbb{Z}$

Answer 3

все верно , только pit/2 из ответа надо убрать ( pik уже есть , а pi/2 + pik не может быть по условию