Question

Помогите пожалуйста решить интеграл неопределенный ​

Answer 1

$displaystyle int {dfrac{dx}{xsqrt{1-x^{2}}} } = intlimits {x^{-1}(1-x^{2})^{-bigg{frac{1}{2} }}} , dx$

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

$displaystyle int x^{m}(a + bx^{n})^{p} dx,$

где $a, b$ — действительные числа, a $m, n, p$ — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

• если $p$ — целое число, то используется подстановка $t = x^{s}$, где $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$;

• если $dfrac{m + 1}{n}$, то используется подстановка $a + bx^{n} = t^{s}$, где $s$ — знаменатель дроби $p$;

• если $dfrac{m + 1}{n}+p$, то используется подстановка $ax^{-n}+b = t^{s}$, где $s$ — знаменатель дроби $p$;

Для данного интеграла проверим второй случай: $dfrac{-1 + 1}{2} = 0$, следовательно, сделаем замену: $1 - x^{2} = t^{2}$. Тогда $t = sqrt{1 - x^{2}}$ и $x = sqrt{1 - t^{2}}$ и $dx = -dfrac{t}{sqrt{1 - t^{2}} } dt$, если $x in [-1; 1]$. Имеем:

$displaystyle int {dfrac{dx}{xsqrt{1-x^{2}}} } = displaystyle int {-dfrac{t}{tsqrt{1 - t^{2}}} } dt = -int {dfrac{dt}{sqrt{1 - t^{2}}} } = -arcsin t + C$

Сделаем обратную замену:

$-arcsin t + C = -arcsin sqrt{1 - x^{2}} + C$

Ответ: $displaystyle int {dfrac{dx}{xsqrt{1-x^{2}}} } = -arcsin sqrt{1 - x^{2}} + C,$ если $x in [-1; 1].$

Answer 2

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение: