Question

Різниця діагоналей ромба 14 см., а його сторона 17 см. Знайти площу ромба

Answer 1

1 способ:

В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам (АО=ОС и ВО=OD).

Пусть ВО=х, тогда:

AC-BD=14

AC-2x=14

AC=14+2x

2·OC=2(x+7)

OC=x+7

Из ΔBCO по т. Пифагора:

$displaystyle BC^2=BO^2+OC^2\17^2=x^2+(x+7)^2\x^2+x^2+14x+49=289\2x^2+14x-240=0\x^2+7x-120=0\D=b^2-4ac=7^2-4cdot 1 cdot (-120)=49+480=529\x_1=frac{-b+sqrt{D} }{2a} =frac{-7+23}{2} =8\x_2=frac{-b-sqrt{D} }{2a} =frac{-7-23}{2}=-15$

x=-15 не подходит по смыслу задачи, поэтому один корень х=8.

ВО=х=8 см

ОС=х+7=8+7=15 см

АС=АО+ОС=15+15=30 см

BD=BO+OD=8+8=16 см

$displaystyle S_{ABCD}=frac{ACcdot BD}{2} =frac{30cdot 16}{2} =240; cm^2$

2 способ:

Вспомним такую формулу: $d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2$, где d₁, d₂ - диагонали параллелограмма(у нас ромб, а ромб-это тоже параллелограмм), a, b - стороны параллелограмма(у нас ромб, поэтому a=b).

Найдем диагонали, составив систему:

Пусть АС=х, BD=y.

$displaystyle left { {{AC-BD=14} atop {AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2}} right. \left { {{x-y=14} atop {x^2+y^2=2cdot 17^2+2cdot 17^2}} right. \left { {{x-y=14} atop {x^2+y^2=1156}} right. \left { {{x=14+y} atop {(14+y)^2+y^2=1156}} right. \left { {{x=14+y} atop {196+28y+y^2+y^2=1156}} right. \left { {{x=14+y} atop {y^2+14y-480=0}} right. \{left [ left { {{y=16} atop {x=30}} right. atopleft { {{y=-30} atop {x=-16}} right. right.$

Отрицательные значения нам не подходят, так как длинна - величина неотрицательная.

Тогда AC=x=30см, BD=y=16см.

$displaystyle S_{ABCD}=frac{ACcdot BD}{2} =frac{30cdot 16}{2} =240;cm^2$

Ответ: $S_{ABCD}=240;cm^2$