Question

|cosx-2sinx|+cosx=0
Может ли кто объяснить решение этого уравнения?
У меня получаеться +-3pi/4 +2pik и pi +2pik
Ответ: 3pi/4 + 2pik, pi+2pik (не могу понять почему не +-3pi/4)

Answer 1

$|cos x - 2sin x| + cos x = 0$

$|cos x - 2sin x| = -cos x$

$left{begin{array}{ccc}left[begin{array}{ccc}cos x - 2sin x = -cos x\cos x - 2sin x = cos x \end{array}right \-cos x geq 0 \end{array}right$

$left{begin{array}{ccc}left[begin{array}{ccc}2cos x - 2sin x = 0 \ - 2sin x = 0 \end{array}right \cos x leq 0 \end{array}right$

1) Решим неравенство:

$cos x leq 0$

$x in left[dfrac{pi}{2} + 2pi n; dfrac{3pi}{2} + 2pi n right], n in Z$

2) Решим первое уравнение совокупности:

$2cos x - 2 sin x = 0$

$cos x - sin x = 0$

$cos x = sin x | : cos x neq 0$

$text{tg} x = 1\x = dfrac{pi}{4} + pi n, n in Z$

Здесь, если $n = 0$, то $x = dfrac{pi}{4} notin left(dfrac{pi}{2}; dfrac{3pi}{2} right)$, а если $n = 1$, то $x = dfrac{pi}{4} + pi = dfrac{5pi}{4} in left(dfrac{pi}{2}; dfrac{3pi}{2} right)$

Таким образом, наименьший положительный период должен быть $2pi$, поэтому

$x = dfrac{5pi}{4} + 2pi n, n in Z$

3) Решим второе уравнение совокупности:

$-2sin x = 0$

$sin x = 0$

$x = pi k, k in Z$

Здесь, если $k = 0$, то $x = 0 notin left[dfrac{pi}{2}; dfrac{3pi}{2} right]$, а если $k = 1$, то $x = pi in left[dfrac{pi}{2}; dfrac{3pi}{2} right]$

Таким образом, наименьший положительный период должен быть $2pi$, поэтому

$x = pi + 2pi k, k in Z$

Ответ: $x = dfrac{5pi}{4} + 2pi n, x = pi + 2pi k, n in Z, k in Z$