Question

Дано
$cos alpha = - frac{8}{17}$
,
$cos beta = frac{4}{5}$,
$pi < alpha < frac{3pi}{2}$
,
$frac{3pi}{2} < beta < 2pi$

Найдите
а)
$sin( alpha + beta )$

б)
$cos( alpha - beta )$


​

Answer 1

Так как $pi<alpha<dfrac{3pi}{2}$, то это угол 3 четверти, где синус отрицательный.

$sin^2alpha +cos^2alpha =1\sin^2alpha =1-cos^2alpha\sinalpha =-sqrt{1-cos^2alpha} \sinalpha =-sqrt{1-left(-dfrac{8}{17}right)^2}=-sqrt{1-dfrac{64}{289}}=-sqrt{dfrac{225}{289}}=-dfrac{15}{17}$

Так как  $dfrac{3pi }{2} <beta <2pi$, то это угол 4 четверти, где синус также отрицателен.

$sin^2beta+cos^2beta=1\sin^2beta=1-cos^2beta\sinbeta =-sqrt{1-cos^2beta} \sinbeta=-sqrt{1-left(dfrac{4}{5}right)^2}=-sqrt{1-dfrac{16}{25}}=-sqrt{dfrac{9}{25}}=-dfrac{3}{5}$

$sin(alpha +beta)=sinalpha cosbeta +cosalpha sinbeta =\=-dfrac{15}{17} cdotdfrac{4}{5} +left(-dfrac{8}{17} right)cdotleft(-dfrac{3}{5} right)=-dfrac{60}{85} +dfrac{24}{85}=-dfrac{36}{85}$

$cos(alpha -beta)=cosalpha cosbeta +sinalpha sinbeta =\=-dfrac{8}{17} cdotdfrac{4}{5} +left(-dfrac{15}{17} right)cdotleft(-dfrac{3}{5} right)=-dfrac{32}{85} +dfrac{45}{85}=dfrac{13}{85}$

Оценим угол $alpha +beta$:

$pi+dfrac{3pi }{2}<alpha+beta<dfrac{3pi}{2} +2pi\dfrac{pi }{2}<alpha+beta<dfrac{3pi}{2}$

Угол принадлежит либо 2 либо 3 четверти, но учитывая отрицательный синус этого угла - это 3 четверть.

Оценим угол $alpha -beta$:

$pi-2pi<alpha-beta<dfrac{3pi}{2}-dfrac{3pi }{2} \-pi<alpha-beta<0$

Угол принадлежит либо 3 либо 4 четверти, но учитывая положительный косинус этого угла - это 4 четверть.