Question

Докажите, что при любом натуральном значении m значение выражения
(m-48)^3 -(m-7)^3 кратно 41

Answer 1

Воспользуемся формулой куба разности:

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$(m-48)^3-(m-7)^3=m^3-3m^2*48+3m*48^2-48^3-(m^3-3m^2*7+3m*7^2-7^3)=\\\=m^3-3*48m^2+3*48^2m-48^3-m^3+3*7m^2-3*7^2m+7^3=\\\=-144m^2+6912m-110592+21m^2-147m+343=\\\=-123m^2*+6765m-110249=41*(-3m^2+165m-2689)$

$frac{41*(-3m^2+165-2689)}{41}= -3m^2+165-2689$

Т.к. 41 как общий множитель можно вынести за скобки, то при любом натуральном m значение данного выражения будет кратно 41.

Answer 2

воспользуемся формулой разности кубов

$displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

решение:

$displaystyle (m-48)^3-(m-7)^3\\=((m-48)-(m-7))*((m-48)^2+(m-48)*(m-7)+(m-7)^2)=\\(m-48-m+7)((m-48)^2+(m-48)(m-7)+(m-7)^2)=\\=-41*((m-48)^2+(m-48)(m-7)+(m-7)^2)$

первый множитель  делить на 41, значит и произведение будет кротно 41