Question

У прямокутну трапецію з периметром P вписано коло. Знайти радіус цього кола, якщо гострий кут трапеції дорівнює a​

Answer 1

За властивістю вписаного кола в трапецію: AB + CD = AD + BC (1)

P = AB + BC + CD + AD = 2(AB + CD), звідси CD = 0,5P - AB

Розглянемо прямокутний трикутник CDH: sin α = CH / CD  ⇔  CH = CDsinα = (0,5P - AB)sinα. Зазначимо, що CH = AB, тоді

CH = 0,5Psinα - CHsinα

CH(1 + sinα) = 0,5Psinα

CH = 0,5Psinα / (1+sinα)

Оскільки CH - діаметр вписаного кола, то r = Psinα / 4(1+sinα)