Question

Вычисление площадей фигур

Answer 1

Для того чтобы высчитать площадь фигуры неразрывной функции $f(x)$ на некотором промежутке, следует воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница:

$displaystyle intlimits^a_b{f(x) } , dx = F(x) bigg|^{a}_{b} = F(a) - F(b)$

Здесь $a$ и $b$ — границы фигуры на оси абсцисс, $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$

$1) S = displaystyle intlimits^4_1 {dfrac{4}{x} } , dx = 4ln |x| bigg|^{4}_{1} = 4ln 4 - 4ln 1 = 4ln 4$ квадратных единиц.

2) Здесь имеем площадь фигуры, ограниченной двумя функциями: $y = x^{2} + 5$ и $y = x +3$.

Чтобы найти данную площадь, нужно найти разность площадей каждой функции.

Очевидно, что площадь фигуры, образованной функцией $y = x^{2} + 5$ на отрезке $[-2; 1]$ больше, чем площадь фигуры, образованной функцией $y = x +3$ на том же отрезке, поэтому

$S = displaystyle intlimits^1_{-2} {(x^{2} + 5 - (x + 3))} , dx = intlimits^1_{-2} {(x^{2} - x + 2)} , dx = left(dfrac{x^{3}}{3} - dfrac{x^{2}}{2} + 2x right) bigg |^{1}_{-2} =$

$= dfrac{1^{3}}{3} - dfrac{1^{2}}{2} + 2 cdot 1 - left(dfrac{(-2)^{3}}{3} - dfrac{(-2)^{2}}{2} + 2 cdot (-2) right) = dfrac{1}{3} - dfrac{1}{2} + 2 + dfrac{8}{3} + 2 + 4 = 10,5$ квадратных единиц.