Question

Помогите!!! Дано уравнение:
cos(8x)- cos(6x)+cos(4x)-cos(2x)=0
Вопросы...
1) Как сгруппировать по парам данное уравнение?
2) какой множитель можно вынести за скобки после группировки?
3) Если произведение трёх множителей
cos(2x)sin(5x)sin(x)=0, то как найти корни этого уравнения?

Answer 1

$(cos8x+cos4x)-(cos6x+cos2x)=0\\ 2cosfrac{8x+4x}{2}cosfrac{8x-4x}{2}-2cosfrac{6x+2x}{2}cosfrac{6x-2x}{2}=0\\ 2cos6xcos2x-2cos4xcos2x=0\\2cos2x(cos6x-cos4x)=0|:2\\ cos2x(-2sinfrac{6x+4x}{2}sinfrac{6x-4x}{2})=0\\ -2cos2xsin5xsin x=0|:(-2)\\cos2xsin5xsin x=0$

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Наше уравнение разбивается на 3 случая: или $cos2x=0$, или $sin5x=0$, или $sin x=0$:

$1) cos2x=0\2x=frac{pi}{2}+pi k, kin Z;\x=frac{pi}{4}+frac{pi}{2}k, kin Z.$

$2) sin5x=0\5x=pi k, k in Z\x=frac{pi}{5}k,kin Z$

$3)sin x=0\x=pi k, kin Z$

Заметим, что решения уравнений 2 и 3 можно объединить в единую серию  $x=frac{pi }{5}k, kin Z$ (поскольку решение второго уравнения включает в себя все решения третьего уравнения).

Итоговый ответ - две серии точек: $x_1=frac{pi}{5}k, in Z; x_2=frac{pi }{4}+frac{pi }{2}k, kin Z$

ОТВЕТ: $x_1=frac{pi}{5}k, in Z; x_2=frac{pi }{4}+frac{pi }{2}k, kin Z$