Question

Помогите с логарифмическим неравенством из вложения, пожалуйста

Answer 1

ОДЗ:

{4x>0 ⇒ x>0

{32x>0 ⇒ x>0

{0,25x>0 ⇒ x>0

{log₂(32x)≠0⇒  32x≠1⇒x≠1/32

{log₂(0,25x)≠0⇒0,25x≠1⇒x≠4

ОДЗ: x ∈ (0;1/32) U (1/32;4) U (4;+ ∞ )

Так как в условиях ОДЗ:

$log^2_{2}(32x)>0$

и

$2^{log_{2}4x}=4x$

Неравенство принимает вид:

$frac{14^{log_{2}4x}}{7cdot(log_{2}0,25x)}geq frac{(4cdot 4x)^{log_{2}4x}}{4cdot ( log_{2}0,25x)}$

$frac{1}{log_{2}0,25x}cdot ( frac{2^{log_{2}4x}cdot 7^{log_{2}4x}}{7}- frac{(4)^{log_{2}4x} cdot (4x) ^{log_{2}4x}}{4})geq 0$

$frac{1}{log_{2}0,25x}cdot ( 4xcdot 7^{log_{2}4x-1}- 4^{log_{2}4x-1}cdot (4x) ^{log_{2}4x})geq 0$

$frac{4x}{log_{2}0,25x}cdot ( 7^{log_{2}4x-1}- 4^{log_{2}4x-1}cdot (4x) ^{log_{2}4x-1})geq 0$

Применяем метод интервалов.

Находим нули числителя:

$x=0$

не принадлежит ОДЗ

или

$7^{log_{2}4x-1}-4^{log_{2}4x-1} cdot(4x) ^{log_{2}4x-1}=0$

$log_{2}4x-1=0Rightarrow x=0,5$

или

$7=4 cdot 4xRightarrow x=frac{7}{16}$

Нули знаменателя найдены ранее ( см ОДЗ): х=4

(0) __+__ [$frac{7}{16}$] ___-__ (4) __+__

C учетом ОДЗ  получаем ответ:

(0;1/32) U (1/32;$frac{7}{16}$] U (4;+ ∞ )

Answer 2

почему нарушение ?? что не устроило ??