Question

Найти интегрированием по частям ОТДАЮ ВСЕ БАЛЛЫ

Answer 1

$1); ; int sqrt{x}cdot lnx, dx=Big[; u=lnx,; du=frac{dx}{x},; dv=sqrt{x}, dx,; v=frac{2, x^{3/2}}{3}; Big]=\\=uv-int vm du=frac{2x^{3/2}}{3}cdot lnx-frac{2}{3}int frac{x^{3/2}}{x}, dx=frac{2, sqrt{x^3}}{3}cdot lnx-frac{2}{3}int x^{1/2}, dx=\\=frac{2, sqrt{x^3}}{3}cdot lnx-frac{2}{3}cdot frac{2, x^{3/2}}{3}+C=frac{2, sqrt{x^3}}{3}cdot lnx-frac{4}{9}cdot sqrt{x^3}+C=\\=frac{2, sqrt{x^3}}{3}cdot (lnx-frac{2}{3})+C; ;$

$2); ; int sin(lnx), dx=Big[; t=lnx; ,; x=e^{t}; ,; dx=e^{t}, dt; Big]=int sintcdot e^{t}, dt=Q\\\Q=int sintcdot e^{t}, dt=Big[; u=sint; ,; du=cost, dt; ,; dv=e^{t}, dt; ,; v=e^{t}; Big]=\\=uv-int v, du=e^{t}cdot sint-int costcdot e^{t}, dt=Big[; u=cost; ,; du=-sint, dt; ,\\dv=e^{t}, dt; ,; v=e^{t}; Big]=e^{t}cdot sint-Big (e^{t}cdot cost+int sintcdot e^{t}, dtBig)=\\=e^{t}cdot (sint-cost)-int sintcdot e^{t}, dt=e^{t}cdot (sint-cost)-Q; ;$

$Q=e^{t}cdot (sint-cost)-Q; ; Rightarrow ; ; ; 2Q=e^{t}cdot (sint-cost)\\Q=frac{1}{2}cdot e^{t}, (sint-cost)+C\\\int sin(lnx), dx=frac{1}{2}cdot xcdot Big(sin(lnx)-cos(lnx)Big)+C$