Question

Теория вероятности функция ф(х)
Задание #6

Answer 1

а) Чтобы φ(x) была плотностью нужно:

$intlimits^{infty}_{-infty} {varphi (x)} , dx =1$   - условие нормированности.

Найдем интеграл: $intlimits^{infty}_{-infty} {varphi (x)} , dx = intlimits^{infty}_{2} {frac{A}{x^6}} , dx = -frac{A}{5x^5}| limits^{infty}_{2} = -0 + frac{A}{5*2^5}=frac{A}{160} = 1$

Отсюда А=160

б) Функция распределения есть:

$F(x)=intlimits^x_{-infty} {varphi (x')} , dx'$

При x≤2: F(x)=0

При x>2: $F(x)=intlimits^x_2 {frac{160}{x'^6}} , dx' = -frac{160}{5}( frac{1}{x^5} -frac{1}{2^5}) = 1-frac{32}{x^5}$

в) Искомая вероятность:

$P(x in [3,4]) = intlimits^4_3 {frac{160}{x^6}} , dx =-frac{160}{5}(frac{1}{4^5} - frac{1}{3^5}) = -32 (frac{1}{1024} - frac{1}{243}) simeq 0.1$

г) Мат. ожидание:

$M = intlimits^{infty}_{-infty} {x varphi(x)} , dx = intlimits^{infty}_{-infty} {frac{160}{x^4}} , dx=0$

Дисперсия:

$D = intlimits^{infty}_{-infty} {(x-M)^2 varphi(x)} , dx = intlimits^{infty}_{-infty} {x^2 varphi(x)} , dx = intlimits^{infty}_{-infty} {frac{160}{x^3}} , dx=0$