Question

Вычислить предел (не по правилу Лопиталя)​

Answer 1

Домножим числитель и знаменатель на $3x^2$:    $limlimits_{xto 0}frac{3x^2(cos2x-cos5x)}{3x^2sin3x^2}$

Теперь запишем наш предел как произведение пределов (каждый из них, разумеется, существует): $limlimits_{xto0}frac{3x^2}{sin3x^2}limlimits_{xto0}frac{cos2x-cos5x}{3x^2}$; Первый из них - это первый замечательный предел. Имеем: $limlimits_{xto0}frac{cos2x-cos5x}{3x^2}$. Теперь запишем разность косинусов как произведение синусов: $limlimits_{xto0}frac{2sin(7x/2)sin(3x/2)}{3x^2}=frac{2}{3} limlimits_{xto0}frac{sin(7x/2)}{x}limlimits_{xto0}frac{sin(3x/2)}{x}$; Теперь каждый из пределов-сомножителей можно подогнать к замечательному пределу:

$frac{2}{3} limlimits_{xto0}frac{frac{7}{2} sin(7x/2)}{frac{7}{2} x}limlimits_{xto0}frac{frac{3}{2} sin(3x/2)}{frac{3}{2} x}=frac{2}{3}frac{7}{2}frac{3}{2}=frac{7}{2}$

Ответ: $frac{7}{2}$