Question

y=4+x, y=x^2 -2x
Найти площадь фигуры ограниченную кривыми, с подробным решением

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$[left{begin{gathered}y=4+xhfill\y={x^2}-2xhfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}y=4+xhfill\4+x={x^2}-2xhfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}y=4+xhfill\{x^2}-3x-4=0hfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{y_1}=8;;{y_2}=3hfill\{x_1}=4;;{x_2}=-1hfill\end{gathered}right.]$

$[begin{gathered}{x^2}-3x-4=0hfill\D={b^2}-4ac={left({-3}right)^2}+4cdot1cdot4=9+16=25hfill\{x_{1;2}}=frac{{-bpmsqrt D}}{{2a}}=frac{{3pmsqrt{25}}}{{2cdot1}}=frac{{3pm5}}{2}hfill\{x_1}=frac{{3+5}}{2}=4hfill\{x_2}=frac{{3-5}}{2}=-1hfill\end{gathered}]$

Парабола и прямая пересекаются в точках (4; 8) и (-1; 3)

Для того, чтобы получить площадь фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$displaystyle [intlimits_a^b {left( {f(x) - g(x)} right)dx} ]$

где a = x₂, b = x₁

$[begin{gathered}f(x)=4+xhfill\g(x)={x^2}-2xhfill\end{gathered}]$

$displaystyle [intlimits_{-1}^4{(4+x)dx-intlimits_{-1}^4(}{x^2}-2x)dx=frac{{55}}{2}-frac{{20}}{3}=boxed{frac{{125}}{6}}]$

$displaystyle [begin{gathered}intlimits_{-1}^4{(4+x)dx=left({4x+frac{{{x^2}}}{2}}right)}mathop|limits_{-1}^4=left({4cdot4+frac{{{4^2}}}{2}}right)-left({4cdot(-1)+frac{{{{(-1)}^2}}}{2}}right)=24+frac{7}{2}=frac{{55}}{2}hfill\intlimits_{-1}^4{({x^2}-2x)dx=}left({frac{{{x^3}}}{3}-{x^2}}right)mathop|limits_{-1}^4=left({frac{{{4^3}}}{3}-{4^2}}right)-left({frac{{{{(-1)}^3}}}{3}-{{(-1)}^2}}right)=frac{{16}}{3}+frac{4}{3}=frac{{20}}{3}hfill\end{gathered}]$