Question

Решите уравнение:

$4(3xsqrt{1-x^2}+4x^2-2)=5(sqrt{1-x}+sqrt{1+x} )$.

Answer 1

ОДЗ здесь такое: $xin[-1,;1]$ ; С учетом области значений можно сделать интересную замену: $sqrt{1-x}=sqrt{2}sin u,; sqrt{1+x}=sqrt{2}cos u$;

Перепишем: $4(3cos2utimessin2u+4cos^{2}2u-2)=5sqrt{2}(sin u+cos u)$ (я сразу преобразовывал).

Слева в скобках: $3cos2utimessin2u+2(2cos^{2}2u-1)=frac{3}{2}sin4u+2cos4u$; Итого:

$6sin4u+8cos4u=5sqrt{2}(sin u+cos u)$; Осталось вспомнить формулу дополнительного угла: $10sin(4u+arcsin(frac{8}{10}))=10sin(u+frac{pi}{4})Leftrightarrow sin(4u+arcsin(frac{8}{10}))=sin(u+frac{pi}{4})$;

Это уравнение уже легко решается:  $u=frac{pi}{12}-frac{arcsin(8/10)}{3}+frac{2pi k}{3},; kinmathbb{Z}$ и

$u=frac{3pi}{20}-frac{arcsin(8/10)}{5}+frac{2pi t}{5},;tin mathbb{Z}$.  С учетом ОДЗ (это $cos ugeq 0,; sin ugeq 0$ ) получаем $u=frac{3pi}{20}-frac{arcsin(8/10)}{5}+2pi t,; tinmathbb{Z}$ и $u=frac{3pi}{20}-frac{arcsin(8/10)}{5}+frac{2pi}{5}+ 2pi t,; tinmathbb{Z}$; Поскольку $x=cos2u$, то

$x=cos(frac{3pi}{10}-frac{2arcsin(8/10)}{5} )$

$x=cos(frac{3pi}{10}-frac{2arcsin(8/10)}{5}+frac{4pi}{5})$